כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
בליניארית1למדנו רק את הפרק הראשון והפרק הרביעי, שני הפרקים האחרים שייכים לליניארית2. בחרתי להביא את נושא הפולינומים רק בליניארית2מפני שבליניארית אחת לא עוסקים במה שמייחד את מרחב הפולינומים ממרחבים וקטוריים אחרים ולעומת זאת בליניארית2הפולינומים מהווים חלק מהותי מהקורס.
\[
***
\]
תודתי נתונה לגלעד שרם על סיכומיו המצוינים שהיו לי לעזר רב עד כדי כך שניתן לומר שהסיכום הזה מבוסס על סיכומיו.
סיכומי קורס זה מוקדשים לאהרון כהן; אהרון, הידיעה שתקרא את הסיכומים הללו דרבנה אותי לאורך כל הדרך. בהצלחה!
\[
***
\]
סביר להניח שהסיכומים שלי מכילים טעויות רבות - אני מוצא כאלה כל יום (רשימת טעויות נפוצות), אני מפציר בכם לעדכן אותי בכל טעות שאתם מוצאים (ממש כל טעות ללא יוצא מן הכלל); אתם מוזמנים להגיב על המסמכים ב-Google Drive, לשלוח לי דוא“ל או למלא פנייה באתר.
הגדרה 1.1. פולינום מעל \(\MKfield\) הוא ביטוי מהצורה \(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\) כאשר \(a_{k}\in\MKfield\) לכל \(n\geq k\in\MKnatural\). המקדם של החזקה הגדולה ביותר (\(a_{n}\)) נקרא המקדם המוביל והמקדם של החזקה ה-\(0\) (\(a_{0}\)) נקרא המקדם החופשי. נסמן את קבוצת הפולינומים מעל \(\MKfield\) ב-\(\MKfield\left[x\right]\).
\(\clubsuit\)
מונום הוא פולינום בעל איבר יחיד, כלומר כל פולינום הוא חיבור של מונומים.
\(\clubsuit\)
מבחינה פורמלית פולינומים הם פשוט מחרוזת תווים, כדאי לזכור זאת בהמשך מבלי לאבד את האינטואיציה המזהה פולינום כפונקציה פולינומיאלית. דוגמה הממחישה את העניין: הפולינומים \(1\), \(x^{2}+x+1\) ו-\(x^{3}+x+1\) הם פולינומים שונים מעל \(\MKfield_{2}\) למרות שכפונקציות הם שווים:\[\begin{align*}
1^{3}+1+1 & =1=1^{2}+1+1\\
0^{3}+0+1 & =1=0^{2}+0+1
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
ה-\(x\) בסימון \(\MKfield\left[x\right]\) הוא משתנה סרק, באותה מידה היה יכול להופיע שם כל קשקוש עקבי אחר, יתרה מזאת - לפעמים משתמשים בסימון זה כאשר במקום \(x\) כותבים מספר כלשהו ואז פירוש הסימון הוא קבוצת כל הביטויים הפולינומיאליים כשמציבים בהם את אותו מספר, לדוגמה (חוג השלמים של גאוס):\[\begin{align*}
\MKinteger\left[i\right] & :=\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{alignedat}{1}\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot i^{k}\end{alignedat}
& a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\in\MKinteger\end{array}\right\} \\
& =\left\{ a+bi\mid a,b\in\MKinteger\right\}
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
כל מה שנראה בקובץ זה נכון גם עבור קבוצת הפולינומים מעל חוג (שאינו בהכרח שדה), למעט נקודה אחת שעליה נעיר במפורש.
\(\clubsuit\)
באותה מידה היה אפשר להגדיר \(\deg0:=-1\) (או כל מספר שלילי אחר) ואז אפילו לא היינו צריכים להסכים ש-\(\deg0<\deg P\).
\(\clubsuit\)
נזהה פולינום עם סדרת המקדמים האינסופית שלו, כלומר עם סדרה כזו: \(\left(a_{0},a_{1},a_{2},...,a_{n},0,0,0,...\right)\)1סדרות כאלה (שהחל ממקום מסוים כל איבריהן אפסים) נקראות סדרות נתמכות סופית., כך שהפולינום \(1+x\) והפולינום \(1+x+0\cdot x^{2}\) (לדוגמה) יזוהו כאותו פולינום.
\(\clubsuit\)
פולינומים מדרגה \(0\) נקראים פולינומים קבועים משום שכפונקציות הם מהווים פונקציות קבועות.
הגדרה 1.2. שוויון בין פולינומים יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) ויהיו \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},b_{0},b_{1},\ldots,b_{m}\) כך שמתקיים:\[\begin{align*}
P\left(x\right) & =\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot x^{k}\\
G\left(x\right) & =\sum_{k=0}^{m}b_{k}\cdot x^{k}
\end{align*}\]נאמר ש-\(P=G\) אם \(a_{k}=b_{k}\) לכל \(\min\left\{ n,m\right\} \geq k\in\MKnatural_{0}\) ובנוסף מתקיים: \(n\geq m\) ו-\(a_{k}=0\) לכל \(m<k\in\MKnatural\) ו/או \(n\leq m\) ו-\(b_{k}=0\) לכל \(n<k\in\MKnatural\). כלומר אם ממקום מסוים ואילך המקדמים של פולינום הם אפסים, אז מקדמים אלו (אך לא אלו שלפניהם) אינם משפיעים על זהות הפולינום.
הגדרה 1.3. הדרגה או המעלה של פולינום \(0\neq P\in\MKfield\left[x\right]\)2מדובר בפולינום האפס וכך גם בהמשך הקובץ. (מסומנת ב-\(\deg P\)) היא החזקה הגדולה ביותר של הפולינום שהמקדם שלה אינו \(0\)3כלומר אם \(P\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot x^{k}\) אז \(\deg P:=\max\left\{ k\in\MKnatural_{0}\mid a_{k}\neq0\right\} \).. נסמן גם \(\deg0:=-\infty\) ונכתוב \(\deg0<\deg P\) לכל \(0\neq P\in\MKfield\left[x\right]\).
הגדרה 1.4. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) ויהיו \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n},b_{0},b_{1},\ldots,b_{m}\) כך שמתקיים:\[\begin{align*}
P\left(x\right) & =\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot x^{k}\\
G\left(x\right) & =\sum_{k=0}^{m}b_{k}\cdot x^{k}
\end{align*}\]
חיבור פולינומים יוגדר ע"י4אם \(n<m\) אז נגדיר \(a_{k}:=0\) לכל \(k\in\MKnatural\) כך ש-\(n<k\leq m\) ואם \(m<n\) אז נגדיר \(b_{k}:=0\) לכל \(k\in\MKnatural\) כך ש-\(m<k\leq n\).:\[
\left(P+G\right)\left(x\right):=\sum_{k=0}^{\max\left\{ n,m\right\} }\left(a_{k}+b_{k}\right)\cdot x^{k}=\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot x^{k}\right)+\left(\sum_{k=0}^{m}b_{k}\cdot x^{k}\right)
\]
כלומר קבוצת האיברים ההפיכים בחוג פולינומים מעל שדה5מעל חוג (בניגוד לשדה) קבוצת הפולינומים ההפיכים תהיה קבוצת הפולינומים הקבועים כך שהקבוע המתאים להם הוא איבר הפיך בחוג. היא קבוצת הפולינומים הקבועים.
\(\clubsuit\)
\(R\) זה נקרא השארית של חלוקת \(P\) ב-\(G\) ו-\(Q\) נקרא המנה של חלוקה זו.
\(\clubsuit\)
בעמוד הבא מופיע אלגוריתם לחילוק פולינומים עם שארית (דוגמאות לפעולת האלגוריתם ניתן למצוא בוויקיפדיה וב-MathWorld), האלגוריתם מוכיח את קיומם של פולינום המנה ופולינום השארית, והיחידות נובעת מהשוויון \(P-Q\cdot G=R\) ומהעובדה ש-\(\deg R<\deg G\)6שני הנתונים מחייבים ש-\(\deg P=\deg\left(Q\cdot G\right)\) ושהמקדם המוביל ב-\(Q\cdot G\) הוא הנגדי של המקדם המתאים ב-\(P\), כלומר הדרגה של \(Q\) והמקדם המוביל שלו נקבעים ביחידות ע"י \(P\) ו-\(G\), לאחר מכן המקדם הזה קובע ביחידות את המקדם הבא בתור וכן הלאה (ממש כפי שעובד האלגוריתם)..
\(\clubsuit\)
זהו אלגוריתם דומה מאד לאלגוריתם "חילוק ארוך" שלמדנו בבית הספר היסודי7למעשה אלגוריתם "חילוק ארוך" הוא מקרה פרטי של חילוק פולינומים כאשר מציבים במשתנה את \(10\) (או, אם תרצו, זהו חילוק פולינומים ב-\(\MKreal\left[10\right]\))..
טענה 1.5. \(\MKfield\left[x\right]\) הוא חוג חילופי8חוג חילופי (קומוטטיבי) הוא קבוצה שעליה מוגדרות פעולות חיבור וכפל המקיימת את כל אקסיומות השדה מלבד קיום הופכי. ביחס לפעולות החיבור והכפל הנ"ל.
הגדרה 1.6. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\), נאמר ש-\(G\)מחלק את \(P\) (או ש-\(P\) הוא כפולה של \(G\)) אם קיים \(Q\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P=Q\cdot G\)9כלומר שארית החלוקה של \(P\) ב-\(G\) היא פולינום האפס. ובמקרה כזה נסמן \(G\mid P\).
טענה 1.7. יהיו \(A,B,C\in\MKfield\left[x\right]\), מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
אם \(A\mid B\) אז \(A\mid Q\cdot B\) לכל \(Q\in\MKfield\left[x\right]\).
אם \(A\mid B\) וגם \(A\mid C\) אז \(A\mid P\cdot B+G\cdot C\) לכל \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\).
יחס החלוקה הוא טרנזיטיבי, כלומר אם \(A\mid B\) ו-\(B\mid C\) אז \(A\mid C\).
משפט 1.8. לכל שני פולינומים \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) מתקיים:
\(\deg\left(P+G\right)\leq\max\left\{ \deg P,\deg,G\right\} \)10בד"כ מתקיים שוויון אך אם \(\deg P=\deg Q\) וגם המקדמים המובילים נגדיים זה לזה (סכומם הוא \(0_{\MKfield}\)) אז יתקיים א"ש חזק..
\(\deg\left(P\cdot G\right)=\deg P+\deg G\)11אם אחד הפולינומים הוא פולינום האפס, נגיד \(P\), אז \(-\infty+\deg G:=-\infty=\deg\left(0\right)=\deg\left(P\cdot G\right)\)..
מסקנה 1.9. יהיו \(0\neq P,Q\in\MKfield\left[x\right]\), אם \(Q\mid P\) אז \(\deg Q\leq\deg P\).
מסקנה 1.10. אם לפולינום \(P\in\MKfield\left[x\right]\) יש פולינום הופכי (כלומר קיים \(G\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P\cdot G=1\)), אז \(P\) הוא פולינום קבוע.
מסקנה 1.11. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\), \(P\) ו-\(G\) מחלקים זה את זה אם"ם קיים \(0\neq c\in\MKfield\) כך ש-\(P=c\cdot G\), אותו \(c\) הוא המנה של חלוקת המקדם המוביל של \(P\) במקדם המוביל של \(G\).
מסקנה 1.12. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) שני פולינומים המחלקים זה את זה ובעלי מקדמים זהים, מתקיים \(P=G\).
משפט 1.13. חילוק פולינומים עם שארית לכל שני פולינומים \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G\neq0\) קיימים שני פולינומים \(Q,R\in\MKfield\left[x\right]\) יחידים כך ש-\(P=Q\cdot G+R\) ו-\(\deg R<\deg G\).
חילוק פולינומים עם שארית
יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G\neq0\), נרצה למצוא שני פולינומים \(Q,R\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P=Q\cdot G+R\) ו-\(\deg R<\deg G\).נסמן \(R_{0}:=P\) ו-\(Q_{0}=0\), א"כ מתקיים \(P=Q_{0}\cdot G+R_{0}\).נסמן \(n:=\deg G\) ויהיו \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[
G\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot x^{k}
\]נסמן \(i:=0\) וכל עוד \(\deg R_{i}\geq\deg G\):
נסמן \(r:=\deg R_{i}\) ויהיו \(b_{0},b_{1},\ldots,b_{m}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[
R_{i}\left(x\right)=\sum_{j=0}^{r}b_{j}\cdot x^{j}
\]
נגדיר (מהגדרה \(a_{n}\neq0\)):\[\begin{align*}
q_{r-n} & :=\frac{b_{r}}{a_{n}}\\
Q_{i+1}\left(x\right) & :=Q_{i}\left(x\right)+q_{r-n}\cdot x^{r-n}\\
R_{i+1}\left(x\right) & :=R_{i}\left(x\right)-q_{r-n}\cdot x^{r-n}\cdot G\left(x\right)
\end{align*}\]נשים לב לשני דברים:
המקדם המוביל של \(q_{r-n}\cdot x^{r-n}\cdot G\left(x\right)\) הוא \(b_{r}\) ו-\(\deg\left(q_{r-n}\cdot x^{r-n}\cdot G\left(x\right)\right)=\left(r-n\right)+\deg G=r=\deg R_{i}\), ומשכאן ש-\(\deg R_{i+1}<\deg R_{i}\).
טענה 1.14. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G\neq0\), \(G\mid P\) אם"ם השארית של חלוקת \(P\) ב-\(G\) היא פולינום האפס.
טענה 1.15. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\), לכל \(0\neq F\in\MKfield\left[x\right]\) מתקיים \(P\mid G\) אם"ם \(F\cdot P\mid F\cdot G\).
הוכחה. יהי \(0\neq F\in\MKfield\left[x\right]\), ההוכחה שאם \(P\mid G\) אז \(F\cdot P\mid F\cdot G\) היא טריוויאלית, נוכיח את הכיוון השני. נניח ש-\(F\cdot P\mid F\cdot G\) ונחלק את \(G\) ב-\(P\) עם שארית: יהיו \(Q,R\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G=Q\cdot P+R\) ו-\(\deg R<\deg P\), מכאן שמתקיים \(F\cdot G=Q\cdot F\cdot P+F\cdot R\) ו-\(\deg\left(F\cdot R\right)<\deg\left(F\cdot P\right)\). מיחידות השארית נובע ש-\(F\cdot R\) היא השארית של חלוקת \(F\cdot G\) ב-\(F\cdot P\), א"כ \(F\cdot R=0\) ומכיוון ש-\(F\neq0\) נדע ש-\(R=0\) ולכן \(P\mid G\).
2 מחלק משותף מקסימלי וכפולה משותפת מינימלית
יהי \(\MKfield\) שדה.
הגדרה 2.1. פולינום \(P\in\MKfield\left[x\right]\) יקרא פולינום מתוקן אם המקדם המוביל שלו הוא \(1\), פולינום האפס אינו נחשב מתוקן.
משפט 2.2. יהיו \(P_{1},P_{2},\ldots,P_{r}\in\MKfield\left[x\right]\), מתקיימים שני הפסוקים הבאים:
אם קיים \(r\geq i\in\MKnatural\) כך ש-\(P_{i}\neq0\) אז קיים פולינום מתוקן \(D\in\MKfield\left[x\right]\) יחיד כך ש-\(D\mid P_{i}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) ובנוסף לכל \(Q\in\MKfield\left[x\right]\) המחלק את כולם (\(Q\mid P_{i}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\)) מתקיים \(Q\mid D\).
אם \(P_{i}\neq0\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) אז קיים פולינום מתוקן \(L\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P_{i}\mid L\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) ובנוסף לכל \(M\in\MKfield\left[x\right]\) המתחלק בכולם (\(P_{i}\mid M\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\)) מתקיים \(L\mid M\).
הגדרה 2.3. מחלק משותף מקסימלי וכפולה משותפת מינימלית יהיו \(P_{1},P_{2},\ldots,P_{r}\in\MKfield\left[x\right]\),
אם קיים \(r\geq i\in\MKnatural\) כך ש-\(P_{i}\neq0\) אז נסמן ב-\(\gcd\left(P_{1},P_{2},\ldots,P_{r}\right)\) את אותו \(D\) יחיד שמקיים את התנאים במשפט שלעיל, ונקרא לו המחלק המשותף המקסימלי של \(P_{1},P_{2},\ldots,P_{r}\).
אם \(P_{i}\neq0\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) אז נסמן ב-\(\MKlcm\left(P_{1},P_{2},\ldots,P_{r}\right)\) את אותו \(M\) יחיד שמקיים את התנאים במשפט שלעיל ונקרא לו הכפולה המשותפת המינימלית של \(P_{1},P_{2},\ldots,P_{r}\).
\(\clubsuit\)
הגדרות שקולות ל-\(\gcd\) ול-\(\MKlcm\) הן:
המחלק המשותף המקסימלי הוא הפולינום המתוקן המחלק את \(P_{1},P_{2},\ldots,P_{r}\) שדרגתו היא הגבוהה ביותר מבין אלה שמחלקים את כולם.
הכפולה המשותפת המינימלית היא הפולינום המתוקן המתחלק ב-\(P_{1},P_{2},\ldots,P_{r}\) שדרגתו היא הנמוכה ביותר מבין אלה שמתחלקים בכולם.
\(\clubsuit\)
מהגדרה אם \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) הם פולינומים ידידים אז קיים \(c\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P=c\cdot G\) ולכן בהכרח \(\deg P=\deg G\), אותו \(c\) הוא המנה בין שני המקדמים המובילים ולכן אם נתון בנוסך ששניהם מתוקנים אז הם שווים.
\(\clubsuit\)
למעשה זהו מקרה פרטי, בכל חוג חילופי קיימים אידאלים וזוהי ההגדרה שלהם.
\(\clubsuit\)
נשים לב למספר נקודות דמיון בין \(\MKfield\left[x\right]\) לבין \(\MKinteger\):
שניהם חוגים חילופיים, כלומר החיבור והכפל שלהם מקיימים את כל אקסיומות השדה מלבד קיום הופכי.
בשניהם קיים חילוק עם שארית.
בשניהם קיים יחס חלוקה ("\(a\) מחלק את \(b\)" או \(a\mid b\)).
בשניהם לכל איבר יש הצגה יחידה כמכפלה של אי-פריקים (ב-\(\MKinteger\) האי-פריקים נקראים גם המספרים הראשוניים).
בשניהם ניתן להגדיר מחלק משותף מקסימלי וכפולה משותפת מינימלית באותה צורה (ע"י יחס החלוקה הנ"ל), כמו כן, שני מספרים שלמים נקראים זרים אם המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא \(1\).
כל ההגדרות והטענות בפרק זה תקפות באותה צורה גם בחוג השלמים.
\(\clubsuit\)
בקורס "תורת המספרים האלמנטרית" מופיע סיכום מקביל על המספרים השלמים תחת הכותרת "התחלקות".
משפט 2.4. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\). יהיו \(Q_{1},Q_{2},\ldots,Q_{r}\in\MKfield\left[x\right]\), \(n_{1},n_{2},\ldots,n_{r},m_{1},m_{2},\ldots,m_{r}\in\MKnatural_{0}\) ו-\(a,b\in\MKfield\) כך שהפירוקים של \(P\) ו-\(Q\) לגורמים אי-פריקים הם12אם \(Q_{i}\) הוא גורם של \(P\) אך אינו גורם של \(G\) אז \(m_{i}=0\), ולהיפך, אם \(Q_{i}\) הוא גורם של \(G\) אך לא של \(P\) אז \(n_{i}=0\).:\[\begin{align*}
P & =\prod_{i=1}^{r}\left(Q_{i}\right)^{n_{i}}\\
G & =\prod_{i=1}^{r}\left(Q_{i}\right)^{m_{i}}
\end{align*}\]מתקיים:\[\begin{align*}
\gcd\left(P,G\right) & =\prod_{i=1}^{r}\left(Q_{i}\right)^{\min\left\{ n_{i},m_{i}\right\} }\\
\MKlcm\left(P,G\right) & =\prod_{i=1}^{r}\left(Q_{i}\right)^{\max\left\{ n_{i},m_{i}\right\} }
\end{align*}\]
מסקנה 2.5. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\), מתקיים:\[
\MKlcm\left(P,G\right)=\frac{P\cdot G}{\gcd\left(P,G\right)}
\]
טענה 2.6. יהיו \(P,G,Q,R\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P=Q\cdot G+R\), מתקיים \(\gcd\left(P,G\right)=\gcd\left(G,R\right)\).
טענה 2.7. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\).
\(\gcd\left(F,G\right)=\gcd\left(G,F\right)\).
לכל \(Q\in\MKfield\left[x\right]\) מתקיים \(Q\cdot\gcd\left(F,G\right)=\gcd\left(Q\cdot F,Q\cdot G\right)\).
אם קיים \(Q\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(Q\mid F\cdot G\) וגם \(\gcd\left(G,Q\right)=1\) אז \(Q\mid F\).
הגדרה 2.8. פולינומים זרים נאמר ששני פולינומים \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\)זרים זה לזה אם \(\gcd\left(P,G\right)=1\), כלומר אין להם מחלק שאינו טריוויאלי.
הגדרה 2.9. פולינומים ידידים נאמר ששני פולינומים \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) הם פולינומים ידידים אם \(P\mid G\) וגם \(G\mid P\).
הגדרה 2.10. אידיאל קבוצה \(I\subseteq\MKfield\left[x\right]\) תקרא אידיאל אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:
\(0\in I\).
לכל \(P,G\in I\) מתקיים \(P+G\in I\).
לכל \(P\in I\) ולכל \(Q\in\MKfield\left[x\right]\) מתקיים \(Q\cdot P\in I\).
משפט 2.11. יהי \(I\subseteq\MKfield\left[x\right]\) אידיאל, מתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות: \(I=\left\{ 0\right\} \) או שקיים פולינום מתוקן יחיד \(P\in\MKfield\left[x\right]\) כך שמתקיים \(I=\left\{ Q\cdot P\mid Q\in\MKfield\left[x\right]\right\} \).
הוכחה. נניח ש-\(I\neq\left\{ 0\right\} \), יהי \(P\in I\) פולינום מתוקן מדרגה מינימלית, כלומר לכל \(0\neq G\in I\) מתקיים \(\deg P\leq\deg G\). יהי \(G\in I\) פולינום ויהיו \(Q,R\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G=Q\cdot P+R\) ו-\(\deg R<\deg P\), מהגדרת האידיאל נובע ש-\(R\in I\) ולכן מהגדרת \(P\) נובע ש-\(R=0\) ומכאן ש-\(G=Q\cdot P\). היחידות נובעת מהעובדה שאם \(G\) מתוקן ו-\(\deg G=\deg P\) אז \(Q=1\).
טענה 2.12. יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) שני פולינומים, הקבוצה \(I:=\left\{ A\cdot P+B\cdot G\mid A,B\in\MKfield\left[x\right]\right\} \) היא אידיאל ומתקיים \(I=\left\{ 0\right\} \) או \(I=\left\{ Q\cdot\gcd\left\{ P,G\right\} \mid Q\in\MKfield\left[x\right]\right\} \), בפרט אם \(P\neq0\) ו/או \(G\neq0\) אז קיימים \(A,B\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(\gcd\left(P,G\right)=A\cdot P+B\cdot G\).
2.1 אלגוריתם אוקלידס
יהיו \(P,G\in\MKfield\left[x\right]\) כך שלפחות אחד מהם שונה מפולינום האפס, נרצה למצוא את \(\gcd\left(P,G\right)\).
נגדיר \(R_{0}=P\) ו-\(R_{1}=G\)13כדאי להגדיר את \(R_{0}\) להיות בעל הדרגה הגדולה יותר מבין השניים משום שבשלב הראשון של האלגוריתם נחלק את \(R_{0}\) ב-\(R_{1}\) עם שארית. ונמצא את \(\gcd\left(R_{0},R_{1}\right)\).
לאלגוריתם ישנן שתי גרסאות: האלגוריתם הבסיסי והאלגוריתם המורחב, להלן הפירוט של שניהם בפסאודו-קוד.
אלגוריתם אוקלידס הבסיסי
נגדיר \(i:=0\).כל עוד \(R_{i+1}\) אינו פולינום האפס:
נחלק את \(R_{i}\) ב-\(R_{i+1}\) עם שארית, נסמן ב-\(Q_{i}\) את המנה וב-\(R_{i+2}\) את השארית (כלומר יהיו \(Q_{i},R_{i+2}\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(\deg R_{i+2}<\deg R_{i+1}\) וגם \(R_{i}=R_{i+1}\cdot Q_{i}+R_{i+2}\)).
נגדיר את \(i\) להיות \(i+1\) ונעבור לשלב הבא בלולאה.
כעת מתקיים \(R_{i+1}=0\)ו-\(R_{i}=\gcd\left(R_{0},R_{1}\right)\).
אלגוריתם אוקלידס המורחב
נגדיר \(i:=0\).נגדיר \({\color{red}A_{-1}:=0}\) ו-\({\color{blue}B_{-1}:=1}\) ומכאן שמתקיים:\[
R_{1}={\color{red}A_{-1}}\cdot R_{0}+{\color{blue}B_{-1}}\cdot R_{1}
\]כל עוד \(R_{i+1}\neq0\):
נחלק את \(R_{i}\) ב-\(R_{i+1}\) עם שארית, נסמן ב-\(Q_{i}\) את המנה וב-\(R_{i+2}\) את השארית.
נחלק למקרים:
אם \(i=0\) אז נגדיר \({\color{red}A_{0}:=1}\) ו-\({\color{blue}B_{0}:=-Q_{0}}\).
אחרת, נגדיר \({\color{red}A_{i}=A_{i-2}-Q_{i}\cdot A_{i-1}}\) ו-\({\color{blue}B_{i}:=B_{i-2}-Q_{i}\cdot B_{i-1}}\).
נגדיר את \(i\) להיות \(i+1\) ונעבור לשלב הבא בלולאה.
כעת מתקיים \(R_{i+1}=0\) וגם:\[
\gcd\left(R_{0},R_{1}\right)=R_{i}=A_{i-2}\cdot P+A_{i-2}\cdot G
\]
בעמוד הבא נוכיח את הנכונות של האלגוריתם המורחב וממילא נקבל את הנכונות של האלגוריתם הבסיסי.
נגדיר \(i:=0\).
נגדיר \({\color{red}A_{-1}:=0}\) ו-\({\color{blue}B_{-1}:=1}\) ומכאן שמתקיים:\[
R_{1}={\color{red}A_{-1}}\cdot R_{0}+{\color{blue}B_{-1}}\cdot R_{1}
\]
כל עוד \(R_{i+1}\neq0\):
נחלק את \(R_{i}\) ב-\(R_{i+1}\) עם שארית, נסמן ב-\(Q_{i}\) את המנה וב-\(R_{i+2}\) את השארית.\[
\Rightarrow R_{i+2}=R_{i}-R_{i+1}\cdot Q_{i}
\]
#
מטענה 2.7 נובע שבכל שלב מתקיים \(\gcd\left(R_{i+2},R_{i+1}\right)=\gcd\left(R_{i+1},R_{i}\right)=\ldots=\gcd\left(R_{0},R_{1}\right)\), וגם \(\deg R_{i+2}<\deg R_{i+1}\) (לכן האלגוריתם מוכרח להיעצר בשלב כלשהו שהרי מדובר במספרים שלמים).
יהיו \(A_{i},B_{i}\in\MKfield\left[x\right]\) כך שמתקיים:\[
R_{i+2}=A_{i}\cdot R_{0}+B_{i}\cdot R_{i+1}
\]נסביר כיצד למצוא \(B_{i}\) ו-\(A_{i}\) כאלה:
אם \(i=0\) אז נגדיר \({\color{red}A_{0}:=1}\) ו-\({\color{blue}B_{0}:=-Q_{0}}\) ואכן מתקיים \(R_{2}={\color{red}1}\cdot R_{0}{\color{blue}-Q_{0}}\cdot R_{1}\).
אחרת, נזכור ש-\(R_{i+1}=A_{i-1}\cdot R_{0}+B_{i-1}\cdot R_{1}\) וגם \(R_{i}=A_{i-2}\cdot R_{0}+B_{i-2}\cdot R_{1}\), ומכיוון ש-\(R_{i+2}=R_{i}-Q_{i}\cdot R_{i+1}\) ניתן להציג את \(R_{i+2}\) כך:\[\begin{align*}
R_{i+2} & =R_{i}-R_{i+1}\cdot Q_{i}=\left(A_{i-2}\cdot R_{0}+B_{i-2}\cdot R_{1}\right)-\left(A_{i-1}\cdot R_{0}+B_{i-1}\cdot R_{1}\right)\cdot Q_{i}\\
& ={\color{red}\left(A_{i-2}-Q_{i}\cdot A_{i-1}\right)}\cdot R_{0}+{\color{blue}\left(B_{i-2}-Q_{i}\cdot B_{i-1}\right)}\cdot R_{1}
\end{align*}\]ולכן נגדיר \({\color{red}A_{i}=A_{i-2}-Q_{i}\cdot A_{i-1}}\) ו-\({\color{blue}B_{i}:=B_{i-2}-Q_{i}\cdot B_{i-1}}\).
נגדיר את \(i\) להיות \(i+1\) ונעבור לשלב הבא בלולאה.
כעת מתקיים \(R_{i+1}=0\), כלומר:\[
0=R_{i+1}=R_{i-1}-R_{i}\cdot Q_{i-1}
\]וממילא:\[\begin{align*}
R_{i} & =\gcd\left(R_{i+1},R_{i}\right)=\gcd\left(R_{i},R_{i-1}\right)=\ldots=\gcd\left(R_{0},R_{1}\right)
\end{align*}\]בנוסף מתקיים:\[
\gcd\left(R_{0},R_{1}\right)=R_{i}=A_{i-2}\cdot P+B_{i-2}\cdot G
\]ולכן נחזיר את \(R_{i},A_{i-2},B_{i-2}\) ונסיים.
3 שורשים ופריקות
3.1 מעל שדה כללי
יהי \(\MKfield\) שדה.
הגדרה 3.1. נאמר שפולינום לא קבוע \(P\in\MKfield\left[x\right]\) הוא אי-פריק אם לא קיים פולינום \(G\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G\mid P\) וגם \(0<\deg G<\deg P\)14דרישות אלו נצרכות בגלל שבהכרח מתקיים \(P\mid P\) ו-\(1\mid P\)..
הגדרה 3.2. סקלר \(\lambda\in\MKfield\) יקרא שורש של פולינום\(P\in\MKfield\left[x\right]\) אם מתקיים \(P\left(\lambda\right)=0_{\MKfield}\)15כאן אנו מתייחסים ל-\(P\) כפונקציה מ-\(\MKfield\) ל-\(\MKfield\)..
\(\clubsuit\)
לכל פולינום מדרגה \(1\) יש שורש יחיד.
\(\clubsuit\)
לתכונה הנ"ל קוראים ראשוניות, כלומר פולינום הוא אי-פריק אם"ם הוא ראשוני.
טענה 3.3. לכל \(P\in\MKfield\left[x\right]\) ולכל \(a\in\MKfield\) מתקיים \(x-a\mid P\left(x\right)-P\left(a\right)\) ובאופן שקול השארית של חלוקת \(P\) ב-\(x-a\) היא \(P\left(a\right)\).
הוכחה. נחלק את \(P\left(x\right)-P\left(a\right)\) ב-\(x-a\) עם שארית: יהיו \(Q,R\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P\left(x\right)-P\left(a\right)=Q\left(x\right)\cdot\left(x-a\right)+R\left(x\right)\) ו-\(\deg R<\deg\left(x-a\right)\). מהגדרה \(\deg\left(x-a\right)=1\) ולכן \(\deg R=0\) ש-\(R\) הוא פולינום האפס, בכל מקרה \(R\) הוא פולינום קבוע. נציב \(a\) בשני האגפים ונקבל:\[
0=P\left(a\right)-P\left(a\right)=Q\left(a\right)\cdot\left(a-a\right)+R\left(a\right)=Q\left(a\right)\cdot0+R\left(a\right)=R\left(a\right)
\]א"כ \(R\left(a\right)=0\) ומהיות של \(R\) פולינום קבוע נובע ש-\(R\left(x\right)=0\) לכל \(x\in\MKfield\), כלומר \(R\) הוא פולינום האפס ומכאן ש-\(x-a\mid P\left(x\right)-P\left(a\right)\).
מסקנה 3.4. סקלר \(\lambda\in\MKfield\) הוא שורש של פולינום \(P\in\MKfield\left[x\right]\) אם"ם \(x-\lambda\mid P\left(x\right)\).
מסקנה 3.5. יהי \(P\in\MKfield\left[x\right]\) ונסמן \(n:=\deg P\), ל-\(P\) יש לכל היותר \(n\) שורשים שונים ב-\(\MKfield\).
מסקנה 3.6. אם לפולינום מדרגה גדולה מ-\(1\) יש שורש אז הוא פריק.
הגדרה 3.7. ריבוי שורש של פולינום יהי \(P\in\MKfield\left[x\right]\) ונניח כי \(\lambda\in\MKfield\) הוא שורש של \(P\), ראינו שמתקיים \(x-\lambda\mid P\left(x\right)\). יהיו \(Q\in\MKfield\left[x\right]\) ו-\(k\in\MKnatural\) כך ש-\(P\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^{k}\cdot Q\left(x\right)\) ו-\(\lambda\) אינו שורש של \(Q\)16כלומר \(k\) הוא החזקה המקסימלית המקיימת \(\left(x-\lambda\right)^{k}\mid P\left(x\right)\)., \(k\) יקרא הריבוי האלגברי של \(\lambda\) (ביחס ל-\(P\)).
למה 3.8. אם \(\lambda\in\MKfield\) הוא שורש של פולינום \(P\in\MKfield\left[x\right]\) אז \(\lambda\) הוא שורש של \(P\cdot Q\) לכל \(Q\in\MKfield\left[x\right]\).
טענה 3.9. אם לפולינום מדרגה \(2\) או \(3\) אין שורש אז הוא אי-פריק.
הוכחה. אם הוא היה פריק אז אחד הגורמים שלו היה מוכרח להיות מדרגה \(1\) וכפי שראינו זה אומר שיש לו שורש.
משפט 3.10. פולינום \(P\in\MKfield\left[x\right]\) הוא אי-פריק אם"ם לכל \(F,G\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P\mid F\cdot G\) מתקיים \(P\mid F\) ו/או \(P\mid G\).
הוכחה. יהי \(P\in\MKfield\left[x\right]\).
\(\Leftarrow\) נניח ש-\(P\) אי-פריק ויהיו \(F,G\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P\mid F\cdot G\). נסמן \(D:=\gcd\left(F,P\right)\), מהגדרה \(D\mid P\) ולכן מהעובדה ש-\(P\) אי-פריק נובע ש-\(D=1\) או ש-\(D=c\cdot P\) עבור \(0\neq c\in\MKfield\) כלשהו. אם \(D=1\) אז \(D\) ו-\(F\) זרים ולכן מסעיף3בטענה 2.8נובע ש-\(P\mid G\), ואם \(D=c\cdot P\) אז מהגדרת ה-\(\gcd\)\(P\) מחלק את \(F\).
\(\Rightarrow\) נניח שלכל \(F,G\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P\mid F\cdot G\) מתקיים \(P\mid F\) ו/או \(P\mid G\), ויהי \(G\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G\mid P\). יהי \(Q\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(G\cdot Q=P\), א"כ מתקיים \(P\mid G\cdot Q\) ולכן מההנחה נובע ש-\(P\mid G\) או ש-\(P\mid Q\). אם \(P\mid G\) אז \(P\) ו-\(G\) הם פולינומים ידידים ולכן קיים \(c\in\MKfield\) כך ש-\(c\cdot G=P\) ואם \(P\mid Q\) אז קיים \(c\in\MKfield\) כך ש-\(c\cdot Q=P\), א"כ מתקיים \(\deg G=\deg P\) או \(\deg Q=\deg P\), כלומר \(\deg G=\deg P\) או \(\deg G=\deg0\) ולכן מהגדרה \(P\) אי-פריק.
למה 3.11. יהי \(P\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום אי-פריק ויהיו \(G_{1},G_{2},\ldots,G_{n}\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P\mid G_{1}\cdot G_{2}\cdot\ldots\cdot G_{n}\), קיים \(n\geq i\in\MKnatural\) כך ש-\(P\mid G_{i}\).
למה 3.12. יהי \(P\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום אי-פריק מתוקן ויהיו \(G_{1},G_{2},\ldots,G_{n}\in\MKfield\left[x\right]\) פולינומים אי-פריקים מתוקנים כך ש-\(P\mid G_{1}\cdot G_{2}\cdot\ldots\cdot G_{n}\), קיים \(n\geq i\in\MKnatural\) כך ש-\(P=G_{i}\).
משפט 3.13. פירוק לגורמים אי-פריקים יהי \(G\in\MKfield\left[x\right]\) פולינום. קיימים פולינומים מתוקנים \(P_{1},P_{2},\ldots,P_{r}\in\MKfield\left[x\right]\) שונים זה מזה, מספרים טבעיים \(n_{1},n_{2},\ldots,n_{r}\in\MKnatural\) וסקלר \(c\in\MKfield\) יחידים17עד כדי שינוי סדר ושינוי סימן. כך שמתקיים:\[
G=c\cdot\prod_{i=1}^{r}\left(P_{i}\right)^{n_{i}}
\]הצגה זו נקראת הפירוק של \(P\) לגורמים אי-פריקים.
הוכחה. ניתן להוכיח באינדוקציה שניתן להציג כל פולינום כמכפלה של פולינומים אי-פריקים מתוקנים וסקלר18מפרקים לגורמים עד שכבר א"א לחלק מפני שכל הגורמים אי-פריקים.. יהיו \(P_{1},P_{2},\ldots P_{r},Q_{1},Q_{2},\ldots Q_{s}\in\MKfield\left[x\right]\) כך ש-\(P_{i}\neq P_{j}\) אם \(i\neq j\) (לכל \(r\geq i,j\in\MKnatural\)) וכמו כן \(Q_{i}\neq Q_{j}\) אם \(i\neq j\) (לכל \(s\geq i,j\in\MKnatural\)), \(n_{1},n_{2},\ldots,n_{r},m_{1},m_{2},\ldots,m_{s}\in\MKnatural\) ו-\(c,c'\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[
c\cdot\prod_{i=1}^{r}\left(P_{i}\right)^{n_{i}}=G=c'\cdot\prod_{j=1}^{s}\left(Q_{j}\right)^{m_{i}}
\]ראשית נשים לב לכך ש-\(c\) ו-\(c'\) מוכרחים להיות שווים למקדם המוביל של \(G\) משום שכל הפולינומים במכפלה מתוקנים. נגדיר פונקציה \(f:\left\{ i\in\MKnatural\mid i\leq r\right\} \rightarrow\left\{ i\in\MKnatural\mid i\leq s\right\} \) באופן אינדוקטיבי. נסמן \(i:=1\)
לכל \(r\geq i\in\MKnatural\):
מהלמה האחרונה (3.9) נובע שקיים \(s\geq j\in\MKnatural\) כך ש-\(Q_{j}=P_{i}\) ובנוסף \(n_{i}=m_{j}\), יהי \(j\) כנ"ל ונסמן \(f\left(i\right):=j\).
כעת נסיר מהמכפלה באגף שמאל את \(\left(P_{i}\right)^{n_{i}}\) ומאגף ימין נסיר את \(\left(Q_{j}\right)^{m_{j}}\) ושוב נקבל שוויון כך ש-\(\left(Q_{j}\right)^{m_{j}}\) כבר אינו מופיע מופיע במכפלה הימנית ומכאן שהפונקציה שנגדיר תהיה חח"ע.
נעבור לשלב הבא בלולאה.
כעת אגף שמאל הוא המכפלה הריקה השווה ל-\(1\) ולכן גם אגף ימין שווה ל-\(1\), כלומר \(s=r\) ומכאן ש-\(f\) על ומכיוון שהיא חח"ע הרי שהיא הפיכה.
3.2 מעל שדה המרוכבים
משפט 3.14. המשפט היסודי של האלגברה לכל \(P\in\MKcomplex\left[x\right]\) יש שורש מרוכב.
\(\clubsuit\)
לא הוכחנו את המשפט בכיתה, זהו חומר מתקדם יותר.
\(\clubsuit\)
שדה שלכל פולינום מעליו יש שורש בשדה נקרא סגור אלגברית.
\(\clubsuit\)
הטענה נובעת מהעובדה שהצמדה היא כפלית וחיבורית (כלומר לכל \(z,w\in\MKcomplex\) מתקיים \(\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}\) ו-\(\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}\)), הטענה נכונה דווקא בפולינום בעל מקדמים ממשיים משום שרק אז המקדמים צמודים לעצמם.
\(\clubsuit\)
כלומר הפולינומים האי-פריקים מעל \(\MKreal\) הם פולינומים ליניאריים ופולינומים ריבועיים שהדיסקרימיננטה שלהם שלילית.
מסקנה 3.15. יהי \(P\in\MKcomplex\left[x\right]\) פולינום מתוקן ונסמן \(n:=\deg P\), קיימים \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}\in\MKcomplex\) (לאו דווקא שונים) כך שמתקיים:\[
P\left(x\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(x-\lambda_{i}\right)
\]
מסקנה 3.16. כל פולינום אי-פריק מעל \(\MKcomplex\) הוא מדרגה \(1\).
טענה 3.17. לכל \(P\in\MKreal\left[x\right]\subseteq\MKcomplex\left[x\right]\) ולכל \(\lambda\in\MKcomplex\) מתקיים \(P\left(\overline{\lambda}\right)=\overline{P\left(\lambda\right)}\).
מסקנה 3.18. יהי \(P\in\MKreal\left[x\right]\subseteq\MKcomplex\left[x\right]\) ויהי \(\lambda\in\MKcomplex\) שורש של \(P\), גם \(\overline{\lambda}\) הוא שורש של \(P\).
מסקנה 3.19. לכל פולינום מדרגה אי-זוגית מעל \(\MKreal\) יש שורש ממשי.
מסקנה 3.20. כל פולינום אי-פריק מעל \(\MKreal\) הוא פולינום מדרגה \(1\) או פולינום מדרגה \(2\) חסר שורשים.
\(\:\)
4 הפולינומים כמרחב וקטורי
יהי \(n\in\MKnatural_{0}\) ויהא \(\MKfield\) שדה.
הגדרה 4.1. תהא \(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה שכל איבריה ב-\(\MKfield\), נאמר ש-\(\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרה נתמכת סופית אם קיים \(N\in\MKnatural\) כך שלכל \(N<n\in\MKnatural\) מתקיים \(a_{n}=0\).
מסקנה 4.2. קבוצת הסדרות הנתמכות סופית היא תמ"ו של קבוצת הסדרות (\(\MKfield^{\MKnatural}\)), וכמרחב וקטורי היא אינה נוצרת סופית.
נשים לב שישנו איזומורפיזם פשוט בין \(\MKfield_{n}\left[x\right]\) ל-\(\MKfield^{n+1}\) ובין \(\MKfield\left[x\right]\) לקבוצת הסדרות הנתמכות סופית מעל \(\MKfield\): נעתיק כל פולינום לסדרת המקדמים שלו.
משפט 4.3. \(\MKfield\left[x\right]\) הוא מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\) ביחס לפעולת החיבור והכפל בסקלר שהוגדרו בפרק הראשון, ו-\(\MKfield_{n}\left[x\right]\) הוא תמ"ו שלו.
מסקנה 4.4. \(\MKfield\left[x\right]\) הוא מרחב וקטורי שאינו נוצר סופית אך \(\dim\MKfield_{n}\left[x\right]=n+1\).
הגדרה 4.5. הבסיס הסטנדרטי של \(\MKfield_{n}\left[x\right]\) הוא \(\left(1,x,x^{2},\ldots,x^{n}\right)\).
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );